09 그래프 이론 (설명)

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09 그래프 이론 (설명)

이것이 코딩 테스트다. with 파이썬 - 09 그래프 이론

(이코테 2021 강의 몰아보기) 9. 그래프 이론

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그래프 이론

그래프(Graph란 노드(Node)와 노드사이에 연결된 간선(Edge)의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다.

  • 알고리즘 문제를 접했을 때 ‘서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다’는 이야기를 들으면 가장 먼저 그래프 알고르짐을 떠올려야 한다.

서로소 집합

서로소 집합(Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

서로소 집합 자료구조를 설명하려면 서로소 집합 개념이 필요하다.

서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다.

서로소 집합 자료구조는 union 과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

  • union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  • find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다. 연산의 이름 자체가 합치기와 찾기이기도 하고, 두 집합이 서로소 관계인지를 확인할 수 있다는 말은 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지를 확인할 수 있다는 말과 같기 때문이다.

서로소 집합 자료구조

여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같습니다.

  1. 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인합니다.

    1. A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾습니다.

    2. A’를 B’의 부모 노드로 설정합니다.

  2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복합니다.

💡 트리 구조상 번호가 작은 노드가 부모가 되고, 번호가 큰 노드가 자식이 된다.

예제를 통해 서로소 집합 알고리즘을 자세히 확인해보겠다. union 연산을 하나씩 확인하면서 서로 다른 두 원소에 대해 합집합을 수행해야 할 때는, 각각 루투 노드를 찾아서 더 큰 루트 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 하면 된다.

  • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

  • [초기 단계] 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화합니다.

  • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

  • [Step 1] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾습니다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 로트 노드 4의 부모를 1로 설정합니다.

  • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

  • [Step 2] 노드 2과 노드 3의 루트 노드를 각각 찾습니다. 현재 루트 노드는 각각 2와 3이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정합니다.

  • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

  • [Step 3] 노드 2과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾습니다. 현재 루트 노드는 각각 2와 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정합니다.

  • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)

  • [Step 4] 노드 5과 노드 6의 루트 노드를 각각 찾습니다. 현재 루트 노드는 각각 5와 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 6의 부모를 5로 설정합니다.

  • 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있습니다.

기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없습니다.

  • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 합니다,

다음 예시에서는 노드 3의 로투를 찾기 위해서는 노드2를 거쳐 노드 1에 접근해야 합니다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속합 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 추가하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

# 입력
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

# 출력
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5 
부모 테이블: 1 1 2 1 5 5

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법의 문제점

  • 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작합니다.
  • 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)입니다.
    • 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인해 봅시다.
    • 수행된 연산들: Union(4, 5), Union(3, 4), Union(2, 3), Union(1, 2)

서로소 집합 자료구조: 경로 압축

  • 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있습니다.

    • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신합니다.
      # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
  	# 루트 노드가 아니라먄, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  	if parent[x] != x:
  		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  	return parent[x]
    • 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하야 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됩니다.
    • 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신됩니다.
    • 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선됩니다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

# 출력
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

# 결과
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5 
부모 테이블: 1 1 1 1 5 5

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

  • 서로서 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있습니다.
    • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있습니다.
  • 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같습니다.
  1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인합니다.
    1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행합니다.
    2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것입니다.
  2. 그래프 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복합니다.

  • [초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화합니다.

  • [Step 1] 간선 (1, 2)를 확인합니다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2입니다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경합니다.

  • [Step 2] 간선 (1, 3)을 확인합니다. 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3입니다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경합니다.

  • [Step 3] 간선 (2, 3)을 확인합니다. 이미 노드 2과 노드 3의 루트 노드는 모두 1입니다. 다시 말해 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있습니다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False  # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print('사이클이 발생했습니다.')
else:
    print('사이클이 발생하지 않았습니다.')

# 출력
3 3
1 2
1 3
2 3

# 결과
사이클이 발생했습니다.

신장 트리

그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미합니다.

  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 합니다.

최소 신장 트리

최소한의 비용으로 구성되는 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까요?

예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해 봅시다.

  • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치합니다.

크루스칼 알고리즘

  • 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘입니다.

  • 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.

  • 구체적인 동작 과정은 다음과 같습니다.

    1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다.
    2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인합니다.
      1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킵니다.
      2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않습니다.
    3. 모든 간선에 대하야 2번의 과정을 반복합니다.

  • [초기 단계] 그래프의 모든 간선 정보에 대하여 오름차순 정렬을 수행합니다.

  • [Step 1] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (3, 4)를 선택하여 처리합니다.

  • [Step 2] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4, 7)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 3] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4, 6)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 4] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (6, 7)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 5] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1, 2)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 6] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2, 6)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 7] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2, 3)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 8] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (5, 6)을 선택하여 처리합니다.

  • [Step 9] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1, 5)을 선택하여 처리합니다.

  • [알고리즘 수행 결과] 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당합니다.

#  특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

# 출력
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

# 결과
159

크루스칼 알고리즘 성능 분석

  • 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, 0(Elog E)의 시간 복잡도를 가집니다.
  • 크루스칼 알고르즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선을 정렬을 수행하는 부분입니다.
    • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE) 입니다.

위상 정렬

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미합니다.

  • 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

    위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?

    • 자료 구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘(⭕)
    • 자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘(❌)

진입차수와 진출차수

  • 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
  • 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같습니다.

  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
    1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
    2. 새롭게 진입차수가 0인 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같습니다.

위상 정렬을 수행할 그래프를 준비합니다.

  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 합니다.

  • [초기 단계] 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣습니다.
    • 처음에 노드 1이 큐에 삽입됩니다.
  • [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드들을 큐에 삽입합니다.
  • [Step 2] 큐에서 노드 2을 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드들을 큐에 삽입합니다.
  • [Step 3] 큐에서 노드 5을 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드들을 큐에 삽입합니다.
  • [Step 4] 큐에서 노드 3을 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드가 없으므로 그냥 넘어갑니다.
  • [Step 5] 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드를 큐에 삽입합니다.
  • [Step 6] 큐에서 노드 4을 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드를 큐에 삽입합니다.
  • [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거합니다.
    • 새롭게 진입차수가 0인 된 노드가 없으므로 그냥 넘어갑니다.
  • [위상 정렬 결과]
    • 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4 → 7

위상 정렬의 특징

  • 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있습니다.
    • DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
  • 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있습니다.
    • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재합니다.
  • 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있습니다.
    • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못합니다.
  • 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있습니다.
from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indefree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)  # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indefree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = []  # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque()  # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indefree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indefree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indefree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

# 출력
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

# 결과
1 2 5 3 6 4 7

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 합니다.

  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E)입니다.

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